八、单源点最短路问题

1.问题背景

给定一个带权重的有向图$ G=\langle V,E \rangle $和权重函数$ \omega:E\rightarrow R $。图中一条路径$ p $的权重$ \omega(p) $是构成该路径的所有边的权重之和。从结点$ u $到结点$ v $的最短路径权重定义为$ \delta(u,v) $，当没有从$ u $到$ v $的路径时，$ \delta(u,v)=\infty $。

试找出从给定的源点$ s\in V $到其他每个结点$ v\in V $的最短路径及其最短路径。

  • 单源点最短路问题(单目的地最短路径问题，单节点对最短路径问题)，所有结点对最短路径问题

  • 最优子结构性质：两个结点之间的最短路径的任何子路径都是最短的。

  • 松弛操作

    • 对于每个结点$ v $，维持一个属性$ v.d $，记录从源点$ s $到结点$ v $的最短路径权重的上界，称$ v.d $为$ s $到$ v $的最短路径估计
    • $ INITIALIZE-SINGLE-SOURCE $过程中，对所有$ v\in V-\{s\} $有，$ v.d=\infty $，$ s.d=0 $
    • 松弛操作中，首先进行测试(对$ s $到$ v $所经过的最后一个中间结点$ u $，比较$ v.d $和$ u.d+w(u,v) $的值)，如果可以改善，则更新$ v.d $和$ v.\pi $
    • 时间复杂度为$ O(1) $

  • 松弛操作的性质

    三角不等式性质：$ \delta(s,v)\leq\delta(s,u)+\omega(u,v) $

    上界性质：$ v.d $是$ s $到$ v $的最短路径权重$ \delta(s,v) $的上界

    非路径性质：假定从源结点$ s $到给定点$ v $之间不存在路径，则该图在由算法$ INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s) $进行初始化后，有$ v.d\geq \delta(s,v)=\infty $， 并且该等式作为不变式一直维持到图$ G $的所有松弛操作结束。

  • 若源点$ s $无可达负环，则存在源点$ s $的单源最短路径(如果有可达负环，则总有更小距离，最终可以松弛到$ -\infty $)

2.$ Bellman-Ford $算法

  • 给定带权图$ G=\langle V,E,W \rangle $和源点编号$ s $，找到源点$ s $到所有其他顶点$ t $的最短距离$ \delta(s,t) $和最短路径$ \langle s,\dots,t \rangle $或存在源点$ s $可达的负环。

  • 解决挑战1：图中存在负权边时，如何求解单源最短路径?

    • 每轮对所有边进行松弛，持续迭代$ \vert V\vert -1 $轮。

  • 解决挑战2：图中存在负权边时，如何发现源点可达负环?

    • 若第$ \vert V\vert $轮仍松弛成功，存在源点$ s $可达的负环。

  • 伪代码如下

    第1行对所有结点的值进行初始化——$ \Theta(V) $；

    第$ 2\thicksim 4 $行对每条边进行$ \vert V\vert -1 $次松弛处理，每次循环中都对每条边进行一次松弛操作——$ \Theta(E) $，共进行$ \vert V\vert -1 $次循环，总的时间复杂度为$ \Theta(VE) $；

    第$ 5\thicksim 8 $行检查图中是否存在权重为负值的环路并返回检查结果——$ O(E) $；

    总的运行时间为$ O(VE) $

  • 证明在无可达负环的情况下可以正确计算最短路径权重

    设$ G=\langle V,E \rangle $为一个带权重的源点为$ s $的有向图，其权重函数为$ \omega:E\rightarrow R $，并假定图$ G $中不包含从源结点$ s $可以到达的权重为负值的环路。则$ Bellman-ford $算法的第$ 2\thicksim 4 $行的$ for $循环在执行$ \vert V\vert -1 $次 之后，对于所有从源结点$ s $可以到达的结点$ v $有$ v.d=\delta(s,v) $。

    证明：利用路径松弛性质。

    设$ G=\langle V,E \rangle $为一个带权重的源点为$ s $的有向图，其权重函数为$ \omega:E\rightarrow R $，并假定图$ G $中不包含从源结点$ s $可以到达的权重为负值的环路。则对于所有结点$ v\in V $，存在一条从源结点$ s $到结点$ v $的路径当且仅当$ BELLMAN-FORD $算法终止时有$ v.d<\infty $。

  • 证明在有可达负环的情况下可以返回FALSE值，否则返回TRUE值

    假设不包含可达负环时，可以得到$ G_\pi $为一棵最短路径树，则当算法终止时，对于所有边$ (u,v)\in E $，有$ v.d=\delta(s,v)\leq \delta(s,u)+\omega(u,v)=u.d+\omega(u,v) $，因此返回TRUE；

    假设包含可达负环时，设该环路为$ c=\langle v_0,v_1,\dots,v_k \rangle $，其中$ v_0=v_k $，则有$ \sum\limits_{i=1}^{k}\omega(v_{i-1},v_i)<0 $，假设返回TRUE值，则有$ v_i.d\leq v_{i-1}.d+\omega(v_{i-1},v_i) $，这里$ i=1,2,\dots,k $。将所有不等式相加得到$ \sum\limits_{i=1}^{k}v_i.d\leq \sum\limits_{i=1}^{k}(v_{i-1}.d+\omega(v_{i-1},v_i))=\sum\limits_{i=1}^{k}v_{i-1}.d+\sum\limits_{i=1}^{k}\omega(v_{i-1},v_i) $，而$ v_0=v_k $，则得到$ \sum\limits_{i=1}^{k}v_i.d=\sum\limits_{i=1}^{k}v_{i-1}.d $，又有$ \sum\limits_{i=1}^{k}\omega(v_{i-1},v_i)\geq 0 $，二者矛盾，得证。

3.$ Dijkstra $算法

  • 给定带权图$ G=\langle V,E,W \rangle $（所有边的权重为正值）和源点编号$ s $，找到源点$ s $到所有其他顶点$ t $的最短距离$ \delta(s,t) $和最短路径$ \langle s,\dots,t\rangle $。

  • 算法从结点集$ V-S $中选择当前最短路径估计最小的结点$ u $，将$ u $从$ Q $中删除，并加入到$ S $中，$ u.d $就是源结点$ s $到$ u $的最短路径的 长度。这里$ Q $是一个最小优先队列，保存结点集$ V-S $。

  • 伪代码如下：

    $ while $循环执行次数为$ \vert V\vert $次，$ for $循环执行$ \vert E\vert $次（也即松弛操作次数）。

  • 证明算法的正确性

    采用反证法，假设顶点$ u $被添加到$ V_A $时，$ u.d\ne \delta(s,u) $，而由上界性质有$ u.d> \delta(s,u) $。

    应存在一条长度为$ \delta(s,u) $的最短路径，设最短路径为$ \langle s,\dots,x,y,\dots,u\rangle $，其中$ (x,y) $横跨割$ \langle S,V-S\rangle $，$ x\in S $，$ y\in V-S $；将$ x $加入$ S $时，有$ x.d=\delta(s,x) $，因此$ (x,y) $将被松弛，由于$ y $是最短路径$ p $上的结点，因此有$ \delta(s,y)=\delta(s,x)+\omega(x,y)=x.d+\omega(x,y) $，$ y.d\leq x.d+\omega(x,y) $，得到$ y.d=\delta(s,y) $，因此有$ u.d\gt\delta(s,u)\geq \delta(s,y)=y.d $，显然$ u $不是下一个被添加结点，矛盾，得证。

  • 时间复杂度分析：总运行时间依赖于$ Q $的实现，采用二叉堆实现时，每次找到结点$ u $需要$ O(\lg V) $的时间，总运行时间为$ O((V+E)\lg V) $

4.算法对比

项目 广度优先搜索 Dijkstra算法 Bellman-Ford算法
适用范围 无权图 带权图（所有边权重为正） 带权图
松弛次数 —— $ \vert E \vert $次 $ \vert V\vert\cdot\vert E\vert $次
数据结构 队列 优先队列 ——
运行时间 $ O(\vert V\vert +\vert E\vert) $ $ O(\vert E\vert\cdot\log\vert V\vert) $ $ O(\vert E\vert\cdot\vert V\vert) $

5.差分约束系统

  • 线性规划：给定一个$ m\times m $的矩阵$ A $、一个$ m $维的向量$ b $和一个$ n $维的向量$ c $。试找一$ n $维向量$ x $，使得在$ Ax\leq b $的约束下，目标函数$ \sum\limits_{i=1}^{n}{c_ix_i} $最大。

  • 差分约束系统：矩阵$ A $的每一行包括一个1和一个-1，其他所有项均为0。则上述问题转化为$ m $个涉及$ n $个变量的差额限制条件，每个约束条件均为简单的线性不等关系：$ x_j-x_i\leq b_k $，这里$ 1\leq i,j\leq n,i\ne j,1\leq k\leq m $。

  • 解的线性性

    $ x=(x_1,x_2,\dots,x_n) $为解，则$ x+d=(x_1+d,x_2+d,\dots,x_n+d) $也为解；

  • 约束图

    引入额外结点$ v_0 $，从其出发可到达任何结点，因此节点集合$ V $为$ {v_0,v_1,\dots,v_n} $

    边集合$ E $包含代表每个差分约束的边，同时包含$ v_0 $到其他所有结点的边$ (v_0,v_i) $

    如果$ x_j-x_i\leq b_k $是一个差分约束条件，则边$ (v_i,v_j) $的权重记为$ \omega(v_i,v_j)=b_k $，而从$ v_0 $出发到其他结点的边的权重$ \omega(v_0,v_j)=0 $。

  • 问题的转换

给定差分约束系统$ Ax\leq b $，设$ G=\langle V,E \rangle $是该差分约束系统所对应的约束图。如果图$ G $不包含权重为负值的回路，则$ x=(\delta(v_0,v_1),\delta(v_0,v_2),\delta(v_0,v_3),\dots,\delta(v_0,v_n)) $是该系统的一个可行解。如果图$ G $包含权重为负值的回路，则该系统没有可行解。

设未知变量的个数$ n=\vert x_i\vert $，不等式个数为$ m $。则使用$ Bellman-Ford $算法时，顶点数为$ n+1 $，边数为$ m+n $，因此可以在$ O(n^2+mn) $的时间内完成求解。

九、所有结点对的最短路径问题

1.问题背景

给定一个带权重的有向图$ G=\langle V,E \rangle $和权重函数$ \omega:E\rightarrow R $。图中一条路径$ p $的权重$ \omega(p) $是构成该路径的所有边的权重之和。从结点$ u $到结点$ v $的最短路径权重定义为$ \delta(u,v) $，当没有从$ u $到$ v $的路径时，$ \delta(u,v)=\infty $。

求$ \forall u,v\in V $，从$ u $到$ v $的最短路径。

2.问题分析

  • 直观上，可以使用$ Dijkstra $算法依次求解所有点，此时存在重叠子问题；

  • 使用$ Dijkstra $算法依次求解所有点的算法复杂度为$ O(\vert V\vert\vert E\vert\log\vert V\vert) $，对于稠密图有$ \vert E\vert=O(\vert V\vert^2) $，因此算法复杂度为$ O(\vert V\vert^3\log\vert V\vert) $；

  • 而观察松弛过程发现，具有最优子结构性：

  • 设$ D[k,i,j] $表示：可从前$ k $个点选点经过时，$ i $到$ j $的最短距离，则原始问题为$ D[\vert V\vert,i,j] $

    如果不选第$ k $个点经过，则$ D[k,i,j]=D[k-1,i,j] $；

    如果选则第$ k $个点经过，则$ D[k,i,j]=D[k-1,i,k]+D[k-1,k,j] $；

    因此，$ D[k,i,j]=min\{D[k-1,i,k]+D[k-1,k,j],D[k-1,i,j]\} $

3.自底向上的$ Floyd-Warshall $算法

  • 初始化数组

    • $ D[0,i,i]=0 $：起点和终点重合，路径长度为0
    • $ D[0,i,j]=e[i,j] $：任意两点直达距离为边权

  • 自底向上计算

    • 按$ k $增加的顺序计算，求解时当前层只依赖上一层
    • 只需要两层表格——待计算和上一次结果
    • 当$ k=i $或$ k=j $时，$ D[k,i,j]=D[k-1,i,j] $，可以直接覆盖；
    • 当$ k\ne i $且$ k\ne j $时，$ D[k-1,i,k]+D[k-1,k,j] $和$ D[k-1,i,j] $不是相同子问题，当求出$ D[k,i,j] $后，$ D[k-1,i,j] $不再被使用，可直接覆盖——求出新值可直接在原位置覆盖，只需存储一层表格

  • 构建最优解

    • 使用前驱结点矩阵记录经过的中间点，此处使用追踪数组$ Rec $记录经过的中间点

      $ D_k[i,j]=D_{k-1}[i,j] $时$ Rec $记录为0，表示没有中间点 $ D[k,i,j]=D[k-1,i,k]+D[k-1,k,j] $时$ Rec $记录为$ k $，表示经过中间点$ k $

  • 伪代码如下：

    $ All-Pairs-Shortest-Paths $：

    初始化数组$ D $和$ Rec $；

    按照$ k $增大的顺序，对于任意一对$ i,j $，进行松弛操作，并更新相关数组。

    $ Find-Path $：

  • 算法复杂度为$ O(\vert V\vert^3) $

4.最短路径算法小结

十、最大流

1.最大二分匹配

(1)问题描述

  • 给定一个无向图$ G=\langle V,E \rangle $，其中$ V=L\cup R,L\cap R=\Phi $，并且每条边$ e\in E $有一个端点在$ L $中而另一个端点在$ R $中，可记为二分图$ G=\langle L,R,E \rangle $。

  • 图$ G=\langle V,E \rangle $中的一个匹配$ M $是图$ G $边集$ E $的子集$ (M\subseteq E) $，其中每个顶点至多关联$ M $的一条边。

  • 现给定二分图$ G=\langle L,R,E \rangle $，求出匹配$ M=\{e_1,e_2,\dots,e_k\} $，使得$ max\vert M\vert $，满足$ \forall i,j(i\ne j),e_i=(l_i,r_i),e_j=(l_j,r_j) $，有$ l_i\ne l_j $且$ r_i\ne r_j $。

    即使得匹配数最大且每个顶点至多关联一条边。

(2)问题分析

  • 直观上，可以遍历$ L $中的顶点，依次检查之并与$ R $中顶点进行匹配，这种策略可能达不到最大匹配，需要通过撤销边和连接边来增广原匹配。

  • 定义交替路径：从未匹配顶点出发，依次经过“非匹配边、匹配边…非匹配边”**形成的路径

  • 不断寻找交替路径进行增广

    • 依次检测左侧顶点，若相邻顶点未匹配，则构成交替路径，直接进行匹配；若相邻顶点已经匹配，则尝试寻找交替路径，增广成新匹配；
    • 直至所有左侧顶点检测完后结束。

  • 辅助数组

    • $ matched $表示$ L $与$ R $中顶点的匹配关系

      以$ R $中顶点作为下标，如$ match[R_2]\leftarrow L_1 $

    • $ color $表示深度优先搜索辅助数组
      • white表示未被搜索过，black已被搜索过
      • 每次搜索前初始化$ color $数组

(3)匈牙利算法

  • 伪代码如下：

    $ Hungarian(G) $ $ DFS-Find(v) $

  • 正确性证明：

    • 命题1：匈牙利算法得到的匹配$ M $无交替路径
    • 命题2：匹配$ M $无交替路径$ \Leftrightarrow $匹配$ M $是最大匹配

2.最大流算法

(1)问题描述

  • 给定有向图$ G=\langle V,E,C\rangle $，称之为流网络，$ C $代表边权。

    • 源点为$ s $，汇点为$ t $

    • 容量：每条边的边权$ c(e)\geq 0 $

    • 流量：每条边的被占有容量$ f(e)\geq 0 $

    • 剩余容量：对于每条边，剩余容量为$ c(e)-f(e) $

    • 总流量=源点流出量=汇点流入量：$ \vert f\vert=\sum_{e\ out\ of\ s}f(e)=\sum_{e\ in\ to\ t}f(e) $

    • 容量限制：对于边$ e\in E $，有$ 0\leq f(e)\leq c(e) $

      边上的流量不应超过边上的容量

    • 流量守恒：对顶点$ v\in V-\{s,t\} $，$ \sum_{e\ out\ of\ s}f(e)=\sum_{e\ in\ to\ t}f(e) $

      进入某顶点$ v $流量和等于流出此顶点流量和

  • 现根据有向图$ G=\langle V,E,C\rangle $，源点$ s $，汇点$ t $，在满足容量限制和流量守恒的约束条件下，求出最大流量。

(2)直观策略

  • 算法思想

    • 对于所有边$ e\in E $，初始化流量为$ f(e)=0 $
    • 寻找一条$ s $到$ t $的路径$ P $，此路径上每条边$ e $均满足$ f(e)
    • 按路径$ P $上的最小剩余容量增加路径流量
    • 迭代寻找路径$ P $直至无法增加路径流量

  • 此方法可能无法达到最大流量

  • 不足之处：只能扩充边的流量，不能缩减边的流量

  • 如果允许缩减边上的容量 ，则可以进一步增大总流量$ \rightarrow $如果寻找路径时允许逆向搜索，可以增大总流量$ \rightarrow $引入反向边，实现逆向搜索

  • 残存网络

    • 定义反向边权重：可缩减流量的上限，也即原始边上的流量$ f(e) $

    • 定义正向边权重：可扩充流量的上限，也即原始边上的剩余容量$ c(e)-f(e) $

    • 则根据流网络$ G=\langle V,E,C\rangle $和流量$ f $，可得残存网络$ G_f=\langle V,E_f\rangle $，其中每条边的残存容量满足上述规则

    • 定义增广路径：增广路径$ p $是残存网络$ G_f $中一条从源点$ s $到汇点$ t $的简单路径(路径上的各顶点均不互相重复)

    • 定义增广路径的残存容量：路径上各边残存容量的最小值

      流量扩充的最大值为增广路径的残存容量

(3)$ Ford-Fulkerson $算法

  • 算法思想
    • 对于所有边$ e\in E $，初始化流量为$ f(e)=0 $
    • 构造残存网络$ G_f $，寻找$ s $到$ t $的增广路径$ P $
    • 按路径$ P $的残存容量增加路径流量
    • 迭代寻找路径$ P $直至无法增加路径流量
  • 伪代码如下
  • 算法复杂度
  • 正确性证明
    • 充分性：$ f $是最大流$ \Rightarrow $残存网络$ G_f $中无增广路径
    • 必要性：$ f $是最大流$ \Leftarrow $残存网络$ G_f $中无增广路径